Пуассон интегралы

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Пуассон интегралы Дирихле есебінің Лаплас басқаруының шар үшін шешімін табуғы көмектеседі.

Шар ішіндегі u(r, φ) гармоникалық функциясы үшін функциясының u0 шекарасында мына шарт орындалсын: u(R, φ) = u0(φ), оның үстіне функцияға келесі тегістік класы ретінде тиесілі: , где ∂DD шары шекарасы, ал — оның тұйықталуы. Онда осы Дирихле есебі шешімі Пуассон интегралы арқылы жазылады:

мұндағы ωn — бірлік сфера ауданы, ал n — кеңістік өлшемі.

Екі өлшемді кездегі шешуі[өңдеу]

Функция

Дирихле есебінің дөңгелектегі Лаплас теңдеуі үшін шешімі екені белгілі. Фурье коэффициенттерін пайдалана отырып осыны түрлендірейік:

Соңғы қосындыны 0≤r<R болғанда есептеуге болады:

Осылайша, дөңгелек үшін Пуассон интегралы былай түрленеді:

Әдебиет[өңдеу]

В.М. Уроев. Уравнения математической физики — Мәскеу: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.