Пуассон интегралы

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Jump to navigation Jump to search

Пуассон интегралы Дирихле есебінің Лаплас басқаруының шар үшін шешімін табуғы көмектеседі.

Шар ішіндегі u(r, φ) гармоникалық функциясы үшін функциясының u0 шекарасында мына шарт орындалсын: u(R, φ) = u0(φ), оның үстіне функцияға келесі тегістік класы ретінде тиесілі: , где ∂DD шары шекарасы, ал — оның тұйықталуы. Онда осы Дирихле есебі шешімі Пуассон интегралы арқылы жазылады:

мұндағы ωn — бірлік сфера ауданы, ал n — кеңістік өлшемі.

Екі өлшемді кездегі шешуі[өңдеу]

Функция

Дирихле есебінің дөңгелектегі Лаплас теңдеуі үшін шешімі екені белгілі. Фурье коэффициенттерін пайдалана отырып осыны түрлендірейік:

Соңғы қосындыны 0≤r<R болғанда есептеуге болады:

Осылайша, дөңгелек үшін Пуассон интегралы былай түрленеді:

Әдебиет[өңдеу]

В.М. Уроев. Уравнения математической физики — Мәскеу: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.