Үшбұрыштың биіктігі

Үшбұрыштың биіктігі — үшбұрыштың төбесінен оған қарама-қарсы жатқан қабырғаны қамтитын түзуге түсірілген перпендикуляр. Үшбұрыштың түріне байланысты оның биіктігі үшбұрыштың ішінде орналасуы (сүйір бұрышты үшбұрыш үшін), оның қабырғасымен сәйкес келуі (тік бұрышты үшбұрыштың катеті болуы) немесе доғал бұрышты үшбұрышта үшбұрыштан тыс, қабырғасының созындысына түсуі мүмкін. Геометриялық фигураның бұл элементінің халықаралық математикалық анықтамасы мен профилі бекітілген.

Үшбұрыштың биіктіктерін келесідей белгілеген қолайлы: Егер $ABC$ — үшбұрыш, ал $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ — қабырғаларының ұзындықтары (немесе жай ғана қабырғалары) болса, онда $h_{a}$, $h_{b}$, $h_{c}$ — сәйкесінше $A$, $B$, $C$ төбелерінен $a$, $b$, $c$ қабырғаларына (немесе олардың созындыларына) түсірілген биіктіктер.

Қасиеттері

Ортоцентрдің қасиеттері

Үшбұрыштың барлық 3 биіктігі бір нүктеде қиылысады, ол нүктені ортоцентр деп атайды. Ортоцентр сырттай сызылған шеңбердің центріне изогональді түйіндес болып табылады. Ортоцентр центроидпен (медианалардың қиылысу нүктесі), сырттай сызылған шеңбердің центрімен және тоғыз нүкте шеңберінің центрімен бір түзудің бойында жатады (Эйлер түзуін қараңыз).

Сүйір бұрышты үшбұрыштың ортоцентрі оның ортоүшбұрышына (биіктіктердің табандары түзетін үшбұрышқа) іштей сызылған шеңбердің центрі болып табылады. Сүйір бұрышты үшбұрышта ортоцентр үшбұрыштың ішінде жатады; доғал бұрышты үшбұрышта — үшбұрыштан тыс; ал тік бұрышты үшбұрышта — тік бұрыштың төбесінде орналасады.

Сырттай сызылған шеңбермен байланысты қасиеттері

Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі осы үшбұрыштың қабырғаларының орталарында төбелері бар үшбұрыштың ортоцентрі қызметін атқарады. Соңғы үшбұрыш бірінші үшбұрышқа қатысты қосымша (немесе медиалды) үшбұрыш деп аталады. Бұл қасиетті былай да тұжырымдауға болады: Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі қосымша үшбұрыштың ортоцентрі болып табылады.

Үшбұрыш ортоцентрінің оның қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелері сырттай сызылған шеңбердің бойында жатады. Үшбұрыш ортоцентрінің қабырғалардың орталарына қатысты симметриялы нүктелері де сырттай сызылған шеңбердің бойында жатады және сәйкес төбелерге диаметралды қарама-қарсы нүктелермен сәйкес келеді. Теореманың мектеп геометриясындағы қолданылу мәліметтері расталған.

Егер $O$ — $\Delta ABC$-ға сырттай сызылған шеңбердің центрі болса, онда:

${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}$ ,

$|OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}$ ,

мұндағы $R$ — сырттай сызылған шеңбердің радиусы; $a,b,c$ — үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтары.

Үшбұрыштың төбесінен ортоцентрге дейінгі қашықтық сырттай сызылған шеңбер центрінен қарама-қарсы қабырғаға дейінгі қашықтықтан екі есе үлкен. Ортоцентрден сырттай сызылған шеңбермен қиылысқанға дейін жүргізілген кез келген кесінді Эйлер шеңберімен (тоғыз нүкте шеңберімен) әрқашан тең екіге бөлінеді. Ортоцентр осы екі шеңбердің гомотетия центрі болып табылады.