Йенсен теңсіздігі дөңес функция графигінің қиюшысы графиктен жоғары жатады деген ақиқаттың жалпыламасы болып табылады.Йе́нсен теңсіздігі — дөңес функция анықтамаларымен тығыз байланыстағы Иоган Йенсен енгізген теңсіздік .
Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
q
1
,
q
2
,
…
,
q
n
{\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}
q
1
,
q
2
,
…
,
q
n
>
0
{\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}
q
1
+
q
2
+
…
+
q
n
=
1
{\displaystyle \ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
f
(
q
1
x
1
+
q
2
x
2
+
…
+
q
n
x
n
)
≤
q
1
f
(
x
1
)
+
q
2
f
(
x
2
)
+
…
+
q
n
f
(
x
n
)
{\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})}
немесе
f
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
≤
∑
i
=
1
n
q
i
f
(
x
i
)
{\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}
Ескерту:
Егер
f
(
x
)
{\displaystyle \ f(x)}
Иоган Йенсен өзі ең жеке жағдайдан, дәлірек айтқанда
f
(
x
1
+
x
2
2
)
≤
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
2
{\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}}
q
1
=
q
2
=
1
2
{\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}}
Математикалық индукция тәсілімен дәлелдейік.
n
=
2
{\displaystyle \ n=2}
дөңес функция анықтамасынан шығады.Жорамал: теңсіздік қандай да бір натурал сан
n
{\displaystyle \ n}
n
+
1
{\displaystyle \ n+1}
f
(
q
1
x
1
+
q
2
x
2
+
…
+
q
n
x
n
+
q
n
+
1
x
n
+
1
)
≤
q
1
f
(
x
1
)
+
q
2
f
(
x
2
)
+
…
+
q
n
f
(
x
n
)
+
q
n
+
1
f
(
x
n
+
1
)
{\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n}+q_{n+1}x_{n+1})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})+q_{n+1}f(x_{n+1})}
Осы мақсатпен сол жақтағы соңғы екі қосылғышты
q
n
x
n
+
q
n
+
1
x
n
+
1
{\displaystyle \ q_{n}x_{n}+q_{n+1}x_{n+1}}
(
q
n
+
q
n
+
1
)
(
q
n
q
n
+
q
n
+
1
x
n
+
q
n
+
1
q
n
+
q
n
+
1
x
n
+
1
)
{\displaystyle (q_{n}+q_{n+1})\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n+1}\right)}
бұл
n
{\displaystyle \ n}
q
1
f
(
x
1
)
+
q
2
f
(
x
2
)
+
…
+
(
q
n
+
q
n
+
1
)
f
(
q
n
q
n
+
q
n
+
1
x
n
+
q
n
+
1
q
n
+
q
n
+
1
x
n
+
1
)
{\displaystyle q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +(q_{n}+q_{n+1})f\left({\frac {q_{n}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n}+{\frac {q_{n+1}}{q_{n}+q_{n+1}}}x_{n+1}\right)}
Функция мәніне соңғы қосылғышқа
n
=
2
{\displaystyle \ n=2}
f
(
x
)
=
x
k
{\displaystyle \ f(x)=x^{k}}
x
>
0
,
{\displaystyle \ x>0,}
k
>
1
{\displaystyle \ k>1}
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
k
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
k
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}^{k}}}
q
1
,
…
,
q
n
>
0
{\displaystyle \ q_{1},\ldots ,q_{n}>0}
q
1
+
…
+
q
n
=
1
{\displaystyle \ q_{1}+\ldots +q_{n}=1}
q
i
=
p
i
p
1
+
…
+
p
n
{\displaystyle \ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}}
p
1
,
…
,
p
n
{\displaystyle \ p_{1},\ldots ,p_{n}}
(
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
)
k
≤
(
∑
i
=
1
n
p
i
)
k
−
1
∑
i
=
1
n
p
i
x
i
k
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}^{k}}}
Мұнда
p
i
{\displaystyle \ p_{i}}
b
i
k
k
−
1
{\displaystyle \ b_{i}^{\frac {k}{k-1}}}
x
i
{\displaystyle \ x_{i}}
a
i
b
i
1
k
−
1
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}^{\frac {1}{k-1}}}}}
Гёльдер теңсіздігін шығарамыз:
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
≤
(
∑
i
=
1
n
a
i
k
)
1
k
(
∑
i
=
1
n
b
i
k
k
−
1
)
k
−
1
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{\frac {k}{k-1}}\right)^{\frac {k-1}{k}}}
f
(
x
)
=
ln
x
{\displaystyle \ f(x)=\ln x}
∑
i
=
1
n
q
i
ln
x
i
≤
ln
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)}
ln
∏
i
=
1
n
x
i
q
i
≤
ln
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
{\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}
∏
i
=
1
n
x
i
q
i
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}
Жеке түрі
q
i
=
1
n
{\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}
Коши теңсіздігі шығады (геометриялық орташа арифметикалық орташадан аспайды)
x
1
…
x
n
n
≤
x
1
+
…
+
x
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}
f
(
x
)
=
x
ln
x
{\displaystyle \ f(x)=x\ln x}
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
ln
(
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
)
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
ln
x
i
{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}}
q
i
=
1
x
i
∑
i
=
1
n
1
x
i
{\displaystyle q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}
n
1
x
1
+
…
+
1
x
n
≤
(
x
1
⋅
…
⋅
x
n
)
1
/
n
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}}
Гармоникалық орташа геометриялық орташадан аспайды)
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x}}}
1
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
≤
∑
i
=
1
n
q
i
x
i
{\displaystyle {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}
Жеке түрі
q
i
=
1
n
{\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}
гармоникалық орташа арифметикалық орташадан аспайтыны:
n
1
x
1
+
…
+
1
x
n
≤
x
1
+
…
+
x
n
n
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi \left(x\right)}
дөңес функция және интегралданатын
f
(
x
)
{\displaystyle f\left(x\right)}
φ
(
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
)
≤
1
b
−
a
∫
a
b
φ
(
(
b
−
a
)
f
(
x
)
)
d
x
.
{\displaystyle \varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi ((b-a)f(x))\,dx.}
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0412f410106332e971bf675251f931abda21d149)
