Тейлор қатары

Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады. ^[1]

Анықтама

$f(x)$ ${a}$ нүктесі төңірегінде шексіз дифференциалдана алатын функция болсын. Формальды қатар

$\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k$

$f$ функциясының $a$ нүктесіндегі Тейлор қатары деп аталады.

Тейлор формуласы

Теорема:

• $f(x)$ $U(a, \epsilon)$ $a$ нүктесінің белгілі төңірегінде $n+1$ туындысы болсын
• Пусть $x\in U(a, \epsilon)$
• Пусть $p$ — кез келген оң сан,

онда: $x < a$ үшін $\exists$ нүктесі $\xi\in (x,a)$ немесе $x > a$ болғанда $\xi\in (a,x)$  :

$f(x) = f(a) + \sum_{k=1}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi)$

Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары

Экспонента:

$\mathrm{e}^{x} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}$

Натурал логарифм:

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(- 1)^{n+1}x^n}{n},$ барлық $\left| x \right| < 1$ үшін

Биномдық жіктеу:

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n,$ барлық $\left| x \right| < 1$ үшін және барлық $~\alpha,$ комплекс ан үшін, мұндағы

${\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!$

Жекеше түрі:

• квадраттық түбір:

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n,$ барлық $|x|<1\!$ үшін

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} x^n,$ барлық $|x| < 1$ үшін

• Шекті геометриялық қатар:

$\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n,$ барлық $x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0\!$ үшін

Тригонометриялық функциялар:

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}$

$\operatorname{tg}\ x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},$ барлық

$\left| x \right| < \frac{\pi}{2},$ үшін, мұндағы $B_{2n}$ — Бернулли сандары

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}$ барлық $\left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ барлық $\left| x \right| < 1$ үшін

$\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ барлық $\left| x \right| < 1$ үшін

Гиперболалық функция:

$\operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}$

$\operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}$

$\operatorname{th}\,\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}$ барлық $\left|x\right| < \frac{\pi}{2}$ үшін

$\operatorname{arsh}\, \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}$ барлық $\left| x \right| < 1$ үшін

$\operatorname{arth}\, \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}$ барлық $\left| x \right| < 1$ үшін

Сілтемелер

1. Қазақ Энциклопедиясы, 8-том