Эллипс

Эллипс – 2-ретті жазық қисық. Эллипс – фокус деп аталатын F1 F2 нүктелерден қашықтықтарының қосындысы бірдей болатын нүктелердің жиыны. Тік бұрышты координаттар жүйесінде Эллипс теңдеуі x²/a²+y²/b=1 болады.

Конусты жазықтықпен қиғанда эллипс пайда болады.

Эллипс элементтері арасындағы қатынастар

Сурет:Ellipse parameters.gif

Эллипс мүшелері

• $~{\boldsymbol {a}}$ — үлкен жарты осі;
• $~{\boldsymbol {b}}$ — кіші жарты осі;
• $~{\boldsymbol {c}}$ — фокальдық радиус (фокустары арасындағы жартылай қашықтық);
• $~{\boldsymbol {p}}$ — фокальдық параметрі;
• $~{\boldsymbol {r}}_{p}$ — перифокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең жақын қашықтық);
• $~{\boldsymbol {r}}_{a}$ — апофокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең ұзын қашықтық);

$~a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0\leq e<1).$.

$~p={\frac {b^{2}}{a}}$

	$~{\boldsymbol {a}}$	$~{\boldsymbol {b}}$	$~{\boldsymbol {c}}$	$~{\boldsymbol {p}}$	$~{\boldsymbol {r_{p}}}$	$~{\boldsymbol {r_{a}}}$
$~{\boldsymbol {a}}$ – үлкен жарты осі	$~{\boldsymbol {a}}$	$~a={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}}}}$	$~a={\frac {c}{e}}$	$~a={\frac {p}{1-e^{2}}}$	$~a={\frac {r_{p}}{1-e}}$	$~a={\frac {r_{a}}{1+e}}$
$~{\boldsymbol {b}}$ – кіші жарты осі	$~b=a{\sqrt {1-e^{2}}}$	$~{\boldsymbol {b}}$	$~b={\frac {c~{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}$	$~b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}$	$~b=r_{p}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$	$~b=r_{a}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}$
$~{\boldsymbol {c}}$ – фокальдық қашықтық	$~c=ae$	$~c={\frac {be}{\sqrt {1-e^{2}}}}$	$~{\boldsymbol {c}}$	$~c={\frac {pe}{1-e^{2}}}$	$~c={\frac {r_{p}e}{1-e}}$	$~c={\frac {r_{a}e}{1+e}}$
$~{\boldsymbol {p}}$ – фокальдық параметр	$~p=a(1-e^{2})$	$~p=b~{\sqrt {1-e^{2}}}$	$~p=c~{\frac {1-e^{2}}{e}}$	$~{\boldsymbol {p}}$	$~p=r_{p}(1+e)$	$~p=r_{a}(1-e)$
$~{\boldsymbol {r}}_{p}$ – перифокустық қашықтық	$~r_{p}=a(1-e)$	$~r_{p}=b~{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}$	$~r_{p}=c~{\frac {1-e}{e}}$	$~r_{p}={\frac {p}{1+e}}$	$~{\boldsymbol {r}}_{p}$	$~r_{p}=r_{a}{\frac {1-e}{1+e}}$
$~{\boldsymbol {r}}_{a}$ – апофокустық қашықтық	$~r_{a}=a(1+e)$	$~r_{a}=b~{\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$	$~r_{a}=c~{\frac {1+e}{e}}$	$~r_{a}={\frac {p}{1-e}}$	$~r_{a}=r_{p}~{\frac {1+e}{1-e}}$	$~{\boldsymbol {r}}_{a}$

Координаттық түрде өрнектеу

Эллипс екінші реттік қисық ретінде

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка және жалпы мына теңдеуді қанағаттандырады

$~a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,$

инварианттың $D>0\,$ және $\Delta I<0,\,$ болғанда, мұндағы:

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}},$

$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2},$

$I=tr{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}.$

Екінші реттік қисық инварианттары мен эллипс жарты остері арасындағы қатынастар:

$\Delta =-a^{4}b^{4},\,$

$D=a^{2}b^{2},\,$

$I=a^{2}+b^{2}.\,$