Эллипс

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
Ellipse with focus.svg

Эллипс[1] – 2-ретті жазық қисық. Эллипс – фокус деп аталатын F1 F2 нүктелерден қашықтықтарының қосындысы бірдей болатын нүктелердің жиыны. Тік бұрышты координаттар жүйесінде Эллипс теңдеуі x2/a2+y2/b2=1 болады.[2]

Конусты жазықтықпен қиғанда эллипс пайда болады.

Эллипс элементтері арасындағы қатынастар[өңдеу]

Сурет:Ellipse parameters.gif
Эллипс мүшелері
  • ~\boldsymbol a — үлкен жарты осі;
  • ~\boldsymbol b — кіші жарты осі;
  • ~\boldsymbol c — фокальдық радиус (фокустары арасындағы жартылай қашықтық);
  • ~\boldsymbol p — фокальдық параметрі;
  • ~\boldsymbol r_p — перифокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең жақын қашықтық);
  • ~\boldsymbol r_a — апофокустық қашықтық (эллипстегі нүктеден фокусқа дейінгі ең ұзын қашықтық);


~a^2 = b^2 + c^2

e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \le e < 1)..

~p = \frac{b^2}{a}


~\boldsymbol a

~\boldsymbol b

~\boldsymbol c

~\boldsymbol p

~\boldsymbol {r_p}

~\boldsymbol {r_a}
~\boldsymbol a – үлкен жарты осі ~\boldsymbol a ~a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}} ~a = \frac{c}{e} ~a = \frac{p}{1-e^2} ~a = \frac{r_p}{1-e} ~a = \frac{r_a}{1+e}
~\boldsymbol b – кіші жарты осі ~b = a \sqrt{1-e^2} ~\boldsymbol b ~b = \frac{c~\sqrt{1-e^2}}{e} ~b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}} ~b = r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} ~b = r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}
~\boldsymbol c – фокальдық қашықтық ~c = ae ~c = \frac{be}{\sqrt{1-e^2}} ~\boldsymbol c ~c = \frac{pe}{1-e^2} ~c = \frac{r_pe}{1-e} ~c = \frac{r_ae}{1+e}
~\boldsymbol p – фокальдық параметр ~p = a(1-e^2) ~p = b~\sqrt{1-e^2} ~p = c~\frac{1-e^2}{e} ~\boldsymbol p ~p = r_p (1+e) ~p = r_a (1-e)
~\boldsymbol r_p – перифокустық қашықтық ~r_p = a(1-e) ~r_p = b~\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} ~r_p = c~\frac{1-e}{e} ~r_p = \frac{p}{1+e} ~\boldsymbol r_p ~r_p = r_a\frac{1-e}{1+e}
~\boldsymbol r_a – апофокустық қашықтық ~r_a = a(1+e) ~ r_a = b~\sqrt{\frac{1+e}{1-e}} ~ r_a = c~\frac{1+e}{e} ~ r_a = \frac{p}{1-e} ~ r_a = r_p~\frac{1+e}{1-e} ~\boldsymbol r_a

Координаттық түрде өрнектеу[өңдеу]

Эллипс екінші реттік қисық ретінде[өңдеу]

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка және жалпы мына теңдеуді қанағаттандырады

~a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

инварианттың D > 0\, және \Delta I < 0,\, болғанда, мұндағы:

\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix},
D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2,
I=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}.

Екінші реттік қисық инварианттары мен эллипс жарты остері арасындағы қатынастар:

\Delta = -a^4b^4,\,
D = a^2b^2,\,
I = a^2+b^2.\,

Пайдаланған әдебиет[өңдеу]

  1. Рахимбекова З.М. Материалдар механикасы терминдерінің ағылшынша-орысша-қазақша түсіндірме сөздігі ISBN 9965-769-67-2
  2. “Қазақстан”: Ұлттық энцклопедия/Бас редактор Ә. Нысанбаев – Алматы “Қазақ энциклопедиясы” Бас редакциясы, 1998 ISBN 5-89800-123-9