Лежандр нышаны

Лежандр нышаны — сандар теориясында пайдаланылатын функция. Француз математигі А. М. Лежандр 1785 жылы енгізген. Лежандр нышаны Якоби нышанының жеке түрі, ал ол өз кезегінде Кронекера — Якоби нышанының жекеше түрі болып табылады.

Анықтама

$a$ — бүтін сан, ал $p$ — тақ жай сан болсын. Лежандр нышаны $\left({\frac {a}{p}}\right)$ былай анықталады:

$\left({\frac {a}{p}}\right)=0$ , егер $a$ саны $p$ санына бөлінсе.
$\left({\frac {a}{p}}\right)=1$ , егер $a$ саны $p$ модулі бойынша квадраттық шегерім болса, яғни $x$ бүтін саны $x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$ қанағаттандыратындай табылса.
$\left({\frac {a}{p}}\right)=-1$ , егер $a$ саны $p$ модулі бойынша квадраттық шегерім болса

Мультипликативтілік: $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ .
Егер $a\equiv b{\pmod {p}}$ , онда $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$ .
$\left({\frac {1}{p}}\right)=1.$
$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{(p-1)/2}.$
$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}.$
Егер $q$ — $p$ санына тең емес жай сан болса, онда $\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}$ — өзаралық квадраттық заңының жекеше түрі.
$1\leqslant a\leqslant p-1$ сандары арасында тура жартысы үшін Лежандр нышаны +1, ал қалған жартысыныкі — −1.
Лежандр нышанын $p>2$ болғанда Эйлер формуласы арқылы есептеуге болады: $\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}$ .