Лобачевский геометриясы

Лобачевский геометриясы

Лобачевский геометриясы - евклидтік емес геометрияның бір түрі; Евклид геометриясындағы параллель түзулер жөніндегі аксиома қарама-қарсы мағыналы аксиомоға ауыстырылған.

Евклид “Негіздерінде” параллель түзулер жөніндегі аксиома былайша тұжырымдалған: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын бір ғана түзу жүргізуге болады. Ал Лобачевский геометриясы оның орнына мынадай аксиома қолданылады: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын кем дегенде екі түзу жүргізуге болады. Лобачевский геометриясын Н.И. Лобачевский жасап дамытқан. Сәл кейін осындай теорияны Я.Больяй (1802 — 1860) да дәлелдеген. Сондықтан, Лобачевский геометриясы кейде Лобачевский — Больяй геометриясы деп те аталады. Евклидтен Лобачевскийге дейінгі 2 мың жылдан аса уақыт аралығында көптеген ғалымдар К.Птолемей, Д.Прокл, Ибн әл-Хайсам, О.Хайям, П.Катальди, Дж.Валлис, Дж.Саккери, А.Лежандр, Ф.Швейкарт, Ф.Тауринус, т.б. осы теорияны дәлелдемек болып еңбек еткен. Лобачевский геометриясын арнайы гиперболалық евклидтік емес геометрия деп атайды. Олай атау Риманның эллипс[эллипстік] геометриясына қарсы қою үшін қажет болды (қ. Риман геометриясы). Лобачевский геометриясы математикада да, физикада да қолдануға болатын мазмұны бай теория. Лобачевский бұл теорияны құру арқылы Евклидтік емес геометрияның озық мүмкіндіктерін көрсетті. Ол геометрия және жалпы математика дамуындағы жаңа белес болды (қ. Геометрия). Лобачевский геометриясы Лобачевский жазықтығы (планиметрияда) мен Лобачевский кеңістігінің (стереометрияда) қасиеттерін зерттейді.

Лобачевский жазықтығы - параллель түзулер туралы аксиомадан басқа Евклид геометриясы аксиомаларының барлығына бағынатын түзу сызықтар мен фигуралардың қозғалысы (сонымен қатар қашықтықтар, бұрыштар, т.б.) анықталған жазықтық (нүктелер жиыны). Осыған ұқсас жолмен Лобачевский кеңістігі де анықталады. Лобачевский геометриясының нақты мәнін анықтау мәселесі Лобачевскийдің жазықтығы мен кеңістігінің үлгісін табу болатын, яғни Лобачевский геометриясының планиметриясы мен стереометриясының ережелері шамалап түсіндірілген нысандарды табу еді. 1868 ж. Э.Бельтрами Лобачевский жазықтығының бір бөлігіндегі геометрияның тұрақты теріс қисықтығы бар беттердегі геометриямен сәйкес келетінін байқаған; оның қарапайым мысалы — псевдосфера.

Лобачевский геометриясының Евклид геометриясынан бірнеше айырмашылықтары бар:

• Лобачевский геометриясында ұқсас бірақ бір-біріне тең емес үшбұрыштар кездеспейді; егер бұрыштары тең болса, ондай үшбұрыштар өзара тең болады.
• Кез келген үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы -ден кіші және барынша дерлік 0-ге жақын болуы мүмкін.
• а түзуінің бойында жатпайтын кез-келген О нүктесі арқылы а түзуімен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын шексіз көп түзу жүргізуге болады.
• Егер түзулерде ортақ перпендикуляр болса, онда олар перпендикулярдан екі жаққа шексіз таралады.
• Түзулерден тең қашықтықтағы сызық түзу емес, ерекше қисық, ол эквидистанта немесе гиперцикл деп аталады.
• Шексіз ұлғаятын дөңгелектің шегі түзу емес, ерекше қисық, ол шектік шеңбер немесе орицикл деп аталады.
• Радиусы шексіз ұзаратын сфераның шегі жазықтық емес, ерекше бет, ол шектік сфера немесе орисфера деп аталады; бұның бір ерекшелігі, бұл бетте Евклид геометриясы да орындалады. Бұл Лобачевскийге тригонометрия формуласын қорытып шығаруға мүмкіндік берді.
• Шеңбер ұзындығы радиусына пропорционал емес, ол шапшаң өседі.
• Лобачевский жазықтығы мен кеңістігіндегі аймақ неғұрлым кішірек болса, осы аймақтағы метрик. арақатынастар евклид геометриясы арақатынастарынан соғұрлым аз ерекшеленеді. Яғни, шексіз аз аймақта Евклид геометриясы орынды деп айтуға болады. Мысалы, үшбұрыш неғұрлым кіші болса, оның бұрыштарының қосындысы -ден соғұрлым алшақтайды, т.б.

Лобачевский геометриясында салу есептері, көпжақтар, қисықтар мен беттердің жалпы теориясы, т.б. есептердің шешулері қарастырылады. Лобачевский өзінің геометриясын анықталған интегралдарды есептеуге қолданған. Лобачевский геометриясы көмегімен кешенді айнымалы функциялар теориясында автоморфты функциялар теориясы құрылды. Ол сандар теориясында, дербес салыстырмалық теориясы кинематикасында, жалпы салыстырмалықтың теориясында қолданылады.

Пайдаланған әдебиет

• Ш. Біләл, М. Байленова