Тригонометриялық үйлесімдіктер

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу

Тригонометриялық үйлесімдіктер — ортақ анықталу облысындағы барлық аргументтері үшін орындалатын тригонометриялық функциялардың математикалық өрнектері.

Негізгі тригонометриялық формулалар[өңдеу]

Формула аргументтің мүмкін болатын мәндері Нөмірі
~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \forall \alpha (1)
 \operatorname{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha  \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z (2)
 \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha  \alpha \neq \pi n, n \in \mathbb Z (3)

(1) формула Пифагор теоремасының салдары болып табылады. (2) жіне (3) формулалар (1) формуланы ~ \cos^2 \alpha мен ~ \sin^2 \alpha сәйкесінше бөлгенде шығады.

Аргументтерді қосу формуласы[өңдеу]

Аргументтерді қосу формуласы
 \sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta  (5)
 \cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta  (6)
 \operatorname{tg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta}{1 \mp \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}\beta} (7)
 \operatorname{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \operatorname{ctg} \alpha \operatorname{ctg} \beta \mp 1}{\operatorname{ctg} \beta \pm \operatorname{ctg}\alpha} (8)

(7) Формула (5) формуласын (6) формуласына бөлгенде шығады. Ал (8)(6) формуласын (5) формуласына

Қос бұрыш формуласы[өңдеу]

Қос бұрыш формулалары (5), (6) , (7) және (8) формулаларынан β =α десек шығады:

Қос бұрыш формулалары
 \operatorname{sin} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha} (23)
 \operatorname{cos} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha}
 \operatorname{cos} 2 \alpha = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}
(24)
 \operatorname{tg} 2 \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} (25)
 \operatorname{ctg} 2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}

Үш бұрыштың формуласы[өңдеу]

Үш бұрыштың формулалары
\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha \,
\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha \,
\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}
\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}

Дәреже төмендету формулалары[өңдеу]

Дәреже төмендету формулалары (24) формулаларынан шығады:

Синус Косинус Көбейтінді
\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} (26) \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} (27) \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}
\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4} \cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4} \sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}
\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} \cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} \sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}
\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16} \cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16} \sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары[өңдеу]

Функциялар көбейтіндісін түрлендіру формулалары
 \sin  \alpha  \sin  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) -  \cos ( \alpha + \beta)}{2} (28)
 \sin  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) +  \sin ( \alpha - \beta)}{2} (29)
 \cos  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) +  \cos ( \alpha - \beta)}{2} (30)

Функциялар қосындысы формулалары[өңдеу]

Функциялар қосындысы формулалары
 \sin  \alpha \pm  \sin  \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2} (31)
 \cos  \alpha + \cos  \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2} (32)
 \cos  \alpha - \cos  \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2} (33)
 \operatorname{tg}  \alpha \pm \operatorname{tg}  \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos  \alpha \cos  \beta} (34)
 \operatorname{ctg}  \alpha \pm \operatorname{ctg}  \beta = \frac{ \sin ( \beta \pm \alpha)}{ \sin  \alpha \sin  \beta} (35)

Қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу[өңдеу]

  •  \sin x = a.
Егер |a|>1 — нақты шешуі жоқ.
Егер |a| \leqslant 1 — мына x=(-1)^n \arcsin a + \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады
  •  \cos x = a.
Егер |a|>1 — нақты шешуі жоқ.
Егер |a| \leqslant 1 — мына x=\pm \arccos a + 2 \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады
  •  \operatorname{tg}\, x = a.
Мына x=\operatorname{arctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады
  •  \operatorname{ctg}\, x = a.
Мына x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z. түрдегі сандар шешімі болып табылады

Әмбебап тригонометриялық алмастыру[өңдеу]

Үйлесімдіктер тек екі жағы (тяғни \alpha\neq \pi +2 \pi n) бар болғанда ғана мағыналы болады.

  •  \sin\alpha = \frac{2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1 + \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}
  •  \cos\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}
  •  \operatorname{tg}\, \alpha = \frac{2\,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}

Қосымша аргумент (Юнис тәсілі)[өңдеу]

 a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}})

 a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}})

Тригонометриялық функциялардың комплекс түріндедегі түрі[өңдеу]

Crystal Clear app kdict.png Толық мақаласы: Эйлер формуласы

Эйлер формуласы кез келген нақты x үшін келесі теңдік орындалады дейді:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x,

мұндағы eнатурал логарифм негізі,

iжалған бірлік.

Эйлер формуласымен \sin x пен \cos x функцияларын былай анықтауға болады:

\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Содан:

\operatorname{tg}\, x = \frac{i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}
\operatorname{ctg}\, x = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{e^{ix}-e^{-ix}}