Дискриминант

Дискриминант (латынша – бөлуші, ажыратушы) – $ax^{2}+bx+c$ – екі дәрежелі үш мүшенің дискриминанты $b^{2}-4ac$ болса, x²+px+q үш мүшенің дискриминанты (p/2)2 – q – ға тең. х³+px+q – үш мүшенің дискриминанты. D=-4P3-27Q2. Үш мүшенің нақты түбірлерінің саны дискриминантын таңбасына тәуелді анықталады.”Дискриминант” ғылыми атауын ағылшын математигі Джеймс Сильвестр (1814 – 1897) енгізген.

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ көпмүшесінің Дискриминанты

D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}

өргнегінің туындысы, бұл жерде

\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}

— барлық түбірлер.

Негізгі қасиеттері

Дискриминант түбірлері еселік болған жайғдайда ғана нөлге тең болады.
Дискриминант көпмүшенің түбірлеріне қатысты симметриялы көпмүше болып табылады.
$D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')$ $D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')$ , мұнда $R(p,p')$ $R(p,p')$ — $p(x)$ $p(x)$ көпмүшесінің және оның $p'(x)$ $p'(x)$ туындысының нәтижесі.
- сонымен қатар, көпмүше дискриминанты

p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}

көпмүшесінің дискриминанты келесі

(2n-1)\times (2n-1)

-матрицасының анықтауышына тең:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$

Мысалдар

$ax^{2}+bx+c$ квадраттық үшмүшелігінің дискриминанты $b^{2}-4ac$ тең. Егер $D>0$ болса, теңдеудің екі түбірі болады. Ол түбірлерді
$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};$ (1)