Герон формуласы

Герон Формуласы– үшбұрыш ауданын (S) оның үш қабырғасының (а, b және с) ұзындығы арқылы өрнектейтін формула:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

мұндағы р — үшбұрыштың жартылайпериметрі: $p = \frac{a + b + c}2$.

Дәлелдеу  

$S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma}$,

мұндағы $\ \gamma$ — қарама қарсы қабырғасы $c$ болатындай үшбұрыш бұрышы . Косинустар теоремасына сәйкес:

$c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,$

Сондықтан:

$\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},$

Демек,

$\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=$

$={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=$

$={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

$a+b+c=2p$ екендігін ескерсе, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, яғни:

$\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Осылайша,

$S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$

Тарихы

Үшбұрыш ауданын үш қабырғасы бойынша есептеу формуласын Архимед (III ғ. б з. б.) ашқан. Бірақ оның бұл еңбегі бізге жеткен жоқ. Бұл формула Герона Александрийскийдің «Метрикасында» болған (I ғ. б. з.) және соның атымен аталып кеткен. Герон қабырғалары бүтін сан, сонымен қатар аудандары да бүтін үшбұрыштарды зерттеген. Бұндай үшбұрыштар герон үшбұрыштары деп аталады. Герондық ең қарапайым үшбұрыш - мысырлық үшбұрыш.