Герон формуласы

Уикипедия — ашық энциклопедиясынан алынған мәлімет
Мұнда ауысу: шарлау, іздеу
a, b, және c қабырғалары бар үшбұрыш.

Герон формуласыАлександриялық Герон [1] атындағы үшбұрыштың ауданын (S) оның қабырғаларының (a, b, және c) ұзындықтары арқылы өрнектейтін формула:

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

мұндағы p — үшбұрыштің жарты периметрі:

p=\frac{a+b+c}{2}.

Герон формуласын төмендегідей түрлерде де жазуға болады:

S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}
S=\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}
S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}
S=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}


Формуланы Александриялық Герон ашқан болатын, дәлелін ғалымның Метрика атты еңбегінен таба аласыз.Алайда үшбұрыш ауданын үш қабырғасы бойынша есептеу формуласын Архимед 2 ғасыр бұрын ашқан деген тұжырым бар.

Мысал[өңдеу]

Айталық, ΔABC — берілген үшбұрыш, оның қабырғалары a=7, b=4 және c=5 болсын.

Жарты периметр — p=\tfrac{1}{2}(a+b+c)=\tfrac{1}{2}(7+4+5)=8.

Яғни, аудан —

S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}= \sqrt{8 \cdot (8-7) \cdot (8-4) \cdot (8-5)}

=\sqrt{8 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3}=\sqrt{96}=4\sqrt{6} \approx 9.8

Дәлел[өңдеу]

Алгебраны қолданған қазіргі дәлел, Геронның Метрика кітабындағы дәлелінен әлдақайда өзгеше. Айталық, a, b, c үшбұрыштың қабырғалары және A, B, C бұрыштары бұл қабырғаларға қарсы жатқан бұрыштар болсын.

Косинустар теоремасы бойынша:

\cos \widehat C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

C бұрышының синусын тапсақ:

\sin \widehat C = \sqrt{1-\cos^2 \widehat C} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

Үшбұрыштың ауданың формуласын қолдана отырып:


\begin{align}
S & = \frac{1}{2} ab\sin \widehat C \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\
& = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\
& = \sqrt{\frac{(c -(a -b))(c +(a -b))((a +b) -c)((a +b) +c)}{16}} \\
& = \sqrt{\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}\frac{(a + b + c)}{2}} \\
& = \sqrt{\frac{(a + b + c)}{2}\frac{(b + c - a)}{2}\frac{(a + c - b)}{2}\frac{(a + b - c)}{2}} \\
& = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}.
\end{align}


Дереккөздер[өңдеу]

  1. Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo (Spanish). Тексерілді, 30 маусым 2012.

Сыртқы сілтемелер[өңдеу]

Heron's Formula. Mathworld. Тексерілді, 19 қараша 2013.