Үшбұрыш

Үшбұрыш - ең қарапайым көпбұрыш, үш нүктеден, үш қабырғадан және үш бұрыштан тұрады немесе бір түзу бойында жатпайтын үш нүктені қосатын кесінділер шектейтін жазықтық бөлігі.

Үшбұрыш'.

Үшбұрыштардың түрлері: тең қабырғалы , теңбүйірлі, сүйірбұрышты, тік бұрышты, доғал бұрышты.

.

Дұрыс үшбұрыш	Теңбүйірлі	Доғал бұрышты

Теоремалары

Т.1.Тең үшбұрыштарда

1. Тең қабырғаларға қарсы тең бұрыштар жатады.

1. Тең бұрыштарға қарсы тең қабырғалар жатады.

1. Үлкен қабырғаға қарсы үлкен бұрыш жатады.

1. Үлкен бұрышқа қарсы үлкен қабырға жатады.

Т.2.Кез келген үшбұрышта

1. Екі қабырғаның қосындысы үшінші қабырғадан үлкен, ал айырмасы үшіншісінен кіші болады.Сыртқы бұрыш онымен сыбайлас емес екі ішкі бұрыштың қосындысына тең болады.

1. Ішкі бұрыштардың қосындысы 180º-қа тең.

Т.3. Үшбұрыштар теңдігінің белгілері

Екі үшбұрыштың мына өлшемдері тең болса, онда олар өзара тең болады:

1. Екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы.

1. Бір қабырғасы мен оған іргелес бұрыштары.

1. Үш қабырғасы.

Т.4.Тікбұрышты үшбұрыштардың теңдігінің белгілері

Екі тікбұрышты үшбұрыштың мына өлшемдері тең болса, онда олар өзара тең болады:

1. Гипотенуза мен сүйір бұрышы.

1. Катет пен қарсы жатқан бұрыш.

1. Катет пен іргелес бұрыш.

1. Екі катеті.

1. Гипотенуза мен катет.

Косинустар және синустар теоремасы

Үшбұрыш қабырларары a, b жән c ал бұрыштары α, β және γ сәйкесінше.

• Синустар теоремасы

$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.$

• Косинустар теоремасы

$c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

$b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$

$a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

Үшбұрыштың негізгі сызықтары: биіктігі, медиана, биссектриса, орта перпендикуляр, орта сызық

Т.5. Төрт тамаша нүкте

Кез келген үшбұрышта бір нүктеде қиылысатын:

1. Үш медиана.(медианалардың қиылысу нүктесі үшбұрыштың ауырлық центрі болып табылады, ол әрбір медиананы, төбесінен санағанда, 2:1 қатынасындай етіп бөледі.)
   

   

   Медианалардың қиылысу нүктесі үшбұрыштың ауырлық центрі болып табылады.
2. Үш биіктігі(немесе олардың созындылары.)
3. Үш орта перпендикуляр (олардың қиылысу нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі болып табылады.)
   

   

   Үш орта перпендикуляр қиылысу нүктесі үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі болып табылады.
4. Ішкі бұрыштардың үш биссектрисасы(олардың қиылысу нүктесі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болып табылады.)
   

   

   Биссектрисаларның қиылысу нүктесі үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болып табылады.
   ^[1]

Үшбұрыштың ауданын есептеу

S=1/2*a*h

Координаттарды қолдану тәсілі арқылы

A төбесі Картезиандық координаттар жүйесінің (0, 0) нүктесінде орналасқан және үшбұрыштың өзге екі нүктесінің координаттары B = (x_B, y_B) және C = (x_C, y_C) болсын, мұндай үшбұрыштың ауданы $\frac{1}{2}$ көбейту детерминаннтың абсолют шамасы формуласымен есептелінеді:$T = \frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|.$

Жазықтықтағы кез келген үш нүкте үшін үшбұрыштың ауданы:

$T = \frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \big|,$

бұл формуланы ықшамдай беріп

$T = \frac{1}{2} \big| (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \big|.$

формуласын шығарсақ болады.^[2]

Пайдаланылған әдебиеттер

1. Рахимбекова З.М. Материалдар механикасы терминдерінің ағылшынша-орысша-қазақша түсіндірме сөздігі ISBN 9965-769-67-2
2. Bart Braden (1986). "The Surveyor's Area Formula". The College Mathematics Journal 17 (4): 326–337. http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf.