Жиындар теориясы

Жиындар Теориясы – жиындардың (көбінесе шексіз жиындардың) жалпы қасиеттері жөніндегі ілім. Шексіз жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі туралы мәселе жиындардың шешілуге тиісті ең алғашқы мәселесі болды. Бұл мәселеге 19 ғ-дың 70-жылдары неміс математигі Г.Кантор (1845 — 1918) жауап берді. Жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі екі жиынның арасындағы өзара бір мәнді сәйкестік ұғымына негізделген. Қандай да бір ереже не заң бойынша А жиынының әрбір элементіне В жиынының белгілі бір элементі сәйкес қойылсын. Бұл ретте, егер В жиынының әрбір элементі А жиынының тек бір ғана элементіне сәйкес қойылса, онда А және В жиындарының арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнатылған делінеді. Бұл жағдайда саны бірдей элементтерден құралған екі шекті жиынның арасында бір мәнді сәйкес орнатуға болатыны өзінен-өзі түсінікті. Осы факті екі шексіз жиынның арасында өзара бір мәнді сәйкестік орнату мүмкіндігінің болатындығын көрсетеді. Өзара бір мәнді сәйкестік орнатылған екі шексіз жиын бір-біріне эквивалентті (сан жағынан) немесе олардың қуаттары бірдей делінеді. Әрбір шексіз жиынның оның өзімен қуаты бірдей дұрыс бөлігі болады және ол оңай дәлелденеді. Бұл шарт шекті жиын үшін орындалмайды. Сондықтан бүтін сандар жиынымен қуаты бірдей шексіз жиынның дұрыс бөлігін шексіз жиынның анықтамасы ретінде алуға болады.

А және В екі шексіз жиын үшін мынадай үш жағдай орындалуы мүмкін:

1) не А жиыны В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік, бірақ В жиынында А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік жоқ;

2) немесе, керісінше, В жиыны А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік, бірақ А жиынында В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік жоқ;

3) немесе, ақырында, А жиыны В жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік және В жиыны А жиынымен қуаты бірдей дұрыс бөлік. Үшінші жағдайдағы А және В жиындарының тең қуатты екендігін дәлелдеуге болады. Бірінші жағдайда А жиынының қуаты В жиынының қуатынан үлкен, екінші жағдайда В жиынының қуаты А жиынынан үлкен делінеді.

Жиындар қуаты ұғымының маңызы қуаты тең емес шексіз жиындардың болуымен анықталады. Мысалы, берілген М жиынындағы барлық ішкі жиындар жиынының қуаты М жиынының қуатынан үлкен болады. Барлық натурал сандар жиынына тең қуатты жиын саналымды жиын деп аталады. Саналымды жиынның қуаты — шексіз жиын қуатының ең кішісі. Кез келген шексіз жиынның саналымды дұрыс бөлігі болады. Кантор барлық рационал сандар мен алгебралық сандар жиындарының саналымды жиын, ал барлық нақты сандар жиынының саналымсыз жиын екендігін дәлелдейді. Барлық нақты сандар жиынының қуаты континуум қуаты деп аталады. Саналымды жиындардың барлық ішкі жиындарының жиыны, барлық комплекс сандар жиыны, т.б. барлық нақты сандар жиынымен тең қуатты. Кантор нақты сандардан құралған кез келген жиын: не шекті жиын, не саналымды жиын не барлық нақты сандар жиынына тең қуатты жиын болады деп жорамалдады (континуум-жорамал). Жиындар теориясында функцияның аналитикалық түсінігі, фигураны түрлендірудің геометрикалық түсінігі, т.б. белгілі бір жиынды басқа бір жиынға бейнелеу сияқты жалпы ұғымға біріктіріледі. Жиындармен қарапайым амалдар (қосынды не біріктіру, қиылысу, толықтауыш, айырма) жүргізуге, сондай-ақ, олардың реттілігін анықтауға болады. Жиындар теориясы қазіргі математиканың дамуына зор ықпал етті. Жиындар теориясы нақты айнымалы функциялар теориясының, жалпы топологияның, жалпы алгебраның, функционалдық анализдің іргетасы болып есептеледі. Жиындар теориясының негізін чех математигі Б.Больцано (1781 — 1848), неміс математиктері Кантор мен Р.Дедекинд (1831 — 1916) салды.

Жиындарға қолданылатын операциялар

Жиындармен жұмыс істеу үшін келесі операциялар қолданылады: қосу (біріктіру), көбейту (қиылысу), айырым, симметриялы айырым және толықтауыш.

Анықтама 1. 𝐴 жиынына да, 𝐵 жиынына да тиісті элементтерден тұратын жиынды 𝐴 және 𝐵 жиындарының қиылысуы (көбейтіндісі, 𝐴 ∩ 𝐵 түрінде белгіленеді) деп айтады. Сонымен, 𝑐 ∈ 𝐴, және 𝑐 ∈ 𝐵 болғанда ғана 𝑐 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 немесе 𝐶 = {𝑐|𝑐 ∈ 𝐴 және 𝑐 ∈ 𝐵} түрінде жазылады. Мысалы, 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {1, 3, 5}, 𝐶 = {5, 6} үш жиын берілсін. Сонда: 𝐴 ∩ 𝐵 = {1, 3}; 𝐵 ∩ 𝐶 = { 5}; 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅.

Анықтама 2. 𝐴 жиынына, немесе 𝐵 жиынына тиісті элементтерден тұратын жиынды 𝐴 және 𝐵 жиындарының біріктіруі (қосындысы, 𝐴 ∪ 𝐵 түрінде белгіленеді) деп айтады. Сонымен, не 𝑐 ∈ 𝐴, не 𝑐 ∈ 𝐵 болғанда ғана 𝑐 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵. немесе 𝐶 = {𝑐|𝑐 ∈ 𝐴 немесе 𝑐 ∈ 𝐵} түрінде жазылады. Мысалы, 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {1, 3, 5}, 𝐶 = {5, 6} үш жиын берілсін. Сонда: 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}; 𝐴 ∪ 𝐶 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Анықтама 3. 𝐴 жиынына тиісті, бірақ 𝐵 жиынына тиісті емес элементтерден ғана тұратын жиын 𝐴 және 𝐵 жиындарының айырымы (𝐴\𝐵 түрінде белгіленеді) деп айтады. Мысалы, 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {1, 3, 5}, 𝐶 = {5, 6} үш жиын берілсін. Сонда: 𝐴\𝐵 = { 2, 4}; 𝐵\𝐶 = {1, 3}; 𝐴\𝐶 = { 1, 2, 3, 4}.

Анықтама 4. Элементтері не тек қана 𝐴 жиынына, не тек қана 𝐵 жиынына тиісті болатын элементтерден тұратын жиынды 𝐴 және 𝐵 жиындарының симметриялы айырымы (𝐴 △ 𝐵 түрінде белгіленеді) деп айтады. 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 және 𝑥 ∉ 𝐵} немесе 𝐴 △ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 және 𝑥 ∉ 𝐴}. Мысалы, А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6} жиындары берілсін. Сонда: А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}.

Анықтама 5. Егер 𝐴 – 𝑈 жиынының ішкі жиыны болса, онда 𝐴 жиынының 𝑈 жиынына дейін толықтауышы 𝑈 жиынының элементтерінен ғана тұратын 𝐴̅ жиыны болады, яғни 𝐴̅= 𝑈\𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑈 и 𝑥 ∉ 𝐴} 𝐶 = 𝑈\𝐴, 𝐶 = {𝑐|𝑐 ∉ 𝐴}.

Қазақ ұлттық энциклопедиясы