Интегралдық теңдеулер

Интералдық теңдеулер - ішінде белгісіз функцияны интегралдау кездесетін теңдеулер.

Интегралдық теңдеулерді санаттау

Сызықтық Интегралдық теңдеулер

Бұл белгісіз функция сызықтық түрде берілетін Интегралдық теңдеулер:

$\varphi (x)=\lambda \int K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),$

мұндағы $\varphi (x)$ — искомая функция, $f(x)$, $K(x,\;s)$ — белгілі функциялар, $\lambda$ — параметр. $K(x,\;s)$ функциясы Интегралдық теңдеудің ядросы болып табылады. Ядросы мен бос мүшесінің түрлеріне қарай сызықтық Интегралдық теңдеулерді тағы жіктеуге болады.

Фредгольм теңдеулері

2-ші түрдегі Фредгольм Интегралдық теңдеулері

Фредгольмның 2-ші түрдегі Интегралдық теңдеулері былай анықталады:

$\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x).$

Интегралдау шектері шекті немесе шексіз болуа мүмкін. Анымалылар мына теңсіздікді қанағаттандырады: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$, ал ядросы мен бос мүшелері үздіксіз болу керек: $K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])$, немесе келесі шарт орындалу керек:

$\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}|K(x,\;s)|^{2}\,dx\,ds<+\infty ,\qquad \int \limits _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx<+\infty .$

Соңғы шартты қанағаттандыратын ядролар фредгольмдік деп те аталады. Егер $[a,\;b]$ интервалында $f(x)\equiv 0$ болса, онда теңдеу біртекті, әйтпесе біртексіз интегралдық теңдеу деп аталады.

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері

1-ші түрдегі Фредгольм теңдеулері де 2-ші түрдегі секілдіге ұқсас, айырмашылығы - бұнда интерграл сыртында белгісіз функциясы бар бөлігі жоқ:

$\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x),$

ал ядро мен бос мүшесі Фредгольмның 2-ші түрдегі теңдеулері шартын қанағаттандырады.

Вольтерра теңдеулері

2-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінен интегралдау шектерінің бірі айнымалы болғанында:

$\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.$

1-ші түрдегі Вальтерра теңдеулері

Фредгольм теңдеулеріндегідей 1-ші түрдегі Вольтерра теңдеулерінде интеграл сыртындағы беймәлім функция жоқ:

$\int \limits _{a}^{x}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds=f(x).$

Егер келесідегідей ядросын анықтаса Вольтерра теңдеулері Фредгольм теңдеулерінің жекеше түрі деп қарастырса да болады:

${\mathcal {K}}(x,\;s)={\begin{cases}K(x,\;s),&a\leqslant s\leqslant x,\\0,&x<s\leqslant b.\end{cases}}$

Дегенмен Вольтерра теңдеулерінің кейбір қасиеттері Фредгольм теңдеулеріне жарамайды.

Сызықтық емес теңдеулер

Бұндай теңдеулердің шексіз түрелін келтіруге болады. Төменде тек маңызды әрі қолданбалы түрлері анықталған.

Урысон теңдеулері

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).$

Тұрақты $M$ — оң сан, алдын ала анықтау кей жағдайда мүмкін емес.

Гаммерштейн теңдеулері

Гаммерштейн теңдеуі Урысон теңдеулерінің жекеше маңызды түрі:

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,$

мұндағы $K(x,\;s)$ — фредгольмдік ядро.

Ляпунов — Лихтенштейн теңдеулері

Ляпунов — Лихтенштейн аттарымен айтарлықтай сызықтық емес операторлары бар теңдеулерді айтады, мысалы:

$\varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots$

Вольтерра сызықтық емес теңдеулері

$\varphi (x)=\int \limits _{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,$

мұндағы функция $F(x,\;s,\;\varphi )$ барлық айнымалылары бойыншща үзіліссіз.