Евклидтік геометрия

Евклидтік геометрия - алғаш рет Евклидтің (б.з.б. 330 - 275) "Негіздерінде" мазмұндалған аксиомалар жүйесіне негізделген геометриялық теория. Осы геометрияның аксиомалары 5 топтан (postulates), 6 негізгі (анықтама берілмейтін) түсініктерден құралған. Бұлар — үш түрлі объектілер: нүкте, түзу сызық, жазықтық және үш түрлі қатынастар "тиісті", "аралығында", "қозғалыс".

Тиістілік аксиомалары

1. Әрбір екі нүкте арқылы тек бір ғана түзу сызық сызуға болады.
2. Бір түзу сызықтың бойында жатпайтын ең кемі үш нүкте болғанмен, әрбір түзу сызықтың бойында ең кемі екі нүкте жатады.
3. Бір түзу сызықтың бойында жатпайтын үш нүкте арқылы тек бір ғана жазықтық жүргізіледі.
4. Бір жазықтықта жатпайтын төрт нүкте болғанмен әрбір жазықтықта үш нүкте жатады.
5. Егер берілген түзу сызықтың екі нүктесі берілген жазықтықта жататын болса, онда түзу сызықтың өзі де осы жазықтықта жатады.
6. Егер екі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда олардың тағы бір ортақ нүктесі болады (олай болса, ортақ түзу сызығы болады).

Реттілік аксиомалары

1. Егер $~B$ нүктесі $~A$ және $~C$ нүктелері аралығында жатса, онда осы үш нүкте бір түзу сызықтың бойында жатады.
2. Әрбір $~A$, $~B$ нүктелері үшін мынадай $~C$ нүктесі болады, $~B$ нүктесі $~A$ мен $~C$ нүктелері аралығында жатады.
3. Түзу сызықтың үш нүктесінің тек біреуі ғана екі нүкте аралығында жатады.
4. Паш аксиомасы: егер $~l$ түзу сызық үшбұрыштың бір қабырғасын қиып өтетін болса, онда ол түзу сызық әлгі үшбұрыштың екінші қабырғасын да қиып өтеді немесе оның төбесі арқылы өтеді ($~AB$ кесіндісі $~A$ және $~B$ нүктелері аралығындағы нүктелердің жиыны ретінде анықталады; үшбұрыштың кабырғалары да осылайша анықталады).

Жылжыту аксиомалары

1. Жылжыту (қозғалту) нүктелердің түзу сызықтарға және жазықтықтарға тиесілігін (тиістілігін) сақтай отырып нүктелерді нүктелерге, түзу сызықтарды түзу сызықтарға, жазықтықтарды жазықтықтарға сәйкес қояды.
2. Бірінен соң екіншісі кайталанатын екі жылжыту (қозғалту) тағы бір жылжыту тудырады және әрбір жылжытуға кері жылжыту болады.
3. Егер $~A$ мен $~B$ нүктелері және осы нүктелер басталатын бір шеті шектелген $~a$ және $~b$ жарты түзу сызықтар орналасқан $~\alpha$ (альфа) және $~\beta$ (бета) жарты жазықтықтары берілген болса, онда $~A,a,\alpha$ -ны $~B,b,\beta$ -ға ауыстыратын жылжыту да болады.

Үздіксіздік аксиомалары

• Архимед аксиомасы: Кез келген $~AB$ кесіндіні оның үстіне одан қысқа болатын $~AA_{1}$ кесіндісін кажет болғанша қайталап салып, әлгі $~AB$ кесіндісінен артып кететін (ұзын) кесінді салуға болады

($~AA_{1}=A_{1}A_{2}=...=A_{n}A_{n-1}$,) кесіндіні қайталап салу жылжыту (немесе қозғалту) арқылы жүзеге асырылады.

• Кантор аксиомасы. Егер шексіз рет кайталанып беттестіре салынған $~A_{n}B_{n}$ кесінділер тізбегі берілсе, онда бүкіл $~AB$ кесінділеріне тиесілі (тиісті) бір ғана $~C$ нүктесі болады.

Параллелдік аксиомасы

Жазықтықта берілген түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы әлгі түзумен қиылысатын бір ғана түзу сызуға болады, яғни берілген түзуге параллель болатын бір ғана түзу сызылады.

Евклид геометриясының өзге түсініктері осы негізгі ұғымдар арқылы анықталған. Егер Евклидтік геометрияның параллелдік аксиомасы ауыстырылатын болса, онда жаңадан пайда болған аксиомалар жүйесі (Лобачевскийдің геометриясының аксиомалар жүйесі) қайшылыққа ұшырамайды. Өйткені параллелдік аксиомасы өзге аксиомаларға тәуелсіз.

Тағы қараңыз

Евклид