a , b , және c қабырғалары бар үшбұрыш.Герон формуласы — Александриялық Герон [ 1] a , b , және c ) ұзындықтары арқылы өрнектейтін формула:
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
мұндағы p — үшбұрыштің жарты периметрі:
p
=
a
+
b
+
c
2
.
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}.}
Герон формуласын төмендегідей түрлерде де жазуға болады:
S
=
1
4
(
a
+
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}
S
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}}
Метрика атты еңбегінен таба аласыз.Алайда үшбұрыш ауданын үш қабырғасы бойынша есептеу формуласын Архимед 2 ғасыр бұрын ашқан деген тұжырым бар.
Айталық, ΔABC — берілген үшбұрыш, оның қабырғалары a =7, b =4 және c =5 болсын.
Жарты периметр —
p
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
=
1
2
(
7
+
4
+
5
)
=
8
{\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={\tfrac {1}{2}}(7+4+5)=8}
Яғни, аудан —
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
=
8
⋅
(
8
−
7
)
⋅
(
8
−
4
)
⋅
(
8
−
5
)
{\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}={\sqrt {8\cdot (8-7)\cdot (8-4)\cdot (8-5)}}}
=
8
⋅
1
⋅
4
⋅
3
=
96
=
4
6
≈
9.8
{\displaystyle ={\sqrt {8\cdot 1\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt {96}}=4{\sqrt {6}}\approx 9.8}
Алгебраны қолданған қазіргі дәлел, Геронның Метрика кітабындағы дәлелінен әлдақайда өзгеше.
Айталық, a , b , c үшбұрыштың қабырғалары және A , B , C бұрыштары бұл қабырғаларға қарсы жатқан бұрыштар болсын.
Косинустар теоремасы бойынша:
cos
C
^
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos {\widehat {C}}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
C бұрышының синусын тапсақ:
sin
C
^
=
1
−
cos
2
C
^
=
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
2
a
b
.
{\displaystyle \sin {\widehat {C}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\widehat {C}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}
Үшбұрыштың ауданың формуласын қолдана отырып:
S
=
1
2
a
b
sin
C
^
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
=
1
4
(
2
a
b
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
)
(
2
a
b
+
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
)
=
1
4
(
c
2
−
(
a
−
b
)
2
)
(
(
a
+
b
)
2
−
c
2
)
=
(
c
−
(
a
−
b
)
)
(
c
+
(
a
−
b
)
)
(
(
a
+
b
)
−
c
)
(
(
a
+
b
)
+
c
)
16
=
(
b
+
c
−
a
)
2
(
a
+
c
−
b
)
2
(
a
+
b
−
c
)
2
(
a
+
b
+
c
)
2
=
(
a
+
b
+
c
)
2
(
b
+
c
−
a
)
2
(
a
+
c
−
b
)
2
(
a
+
b
−
c
)
2
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {C}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}.\end{aligned}}}
↑ Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo (Spanish). Тексерілді, 30 маусым 2012.
Heron's Formula . Mathworld. Тексерілді, 19 қараша 2013.
Үшбұрыштардың түрлері Үшбұрышқа қатысты сызықтар Үшбұрышқа қатысты нүктелер Теоремалар
