Ортоцентр

Ортоцентр (грек. rths – түзу және лат. centrum – центр) – үшбұрыштың үш биіктігінің қиылысу нүктесі. Үшбұрыштың түріне байланысты ортоцентр үшбұрыш ішінде не сыртында (доғал бұрышты үшбұрышта) орналасуы мүмкін. Теорема: Үшбұрыштың биіктіктері немесе олардың созындылары бір нүктеде қиылысады.

Дәлелдеуі: Кез-келген АВС үшбұрышы қарастырылып, оның биіктіктері жататын АА1, ВВ1, СС1 түзулерінің бір нүктеде қиылысатыны дәлелденеді. АВС үшбұрышының әрбір төбесі арқылы қарсы жатқан қабырғаға параллель түзулер жүргізілді. Сонда екінші А2В2С2 үшбұрышы пайда болды (16- сурет). А, В, С нүктелері бұл үшбұрыш қабырғаларының орталары болып табылады. Шынымен де, АВА2С және АВСВ2 параллелограмдарының қарама-қарсы қабырғалары ретінде АВ = А2С және АВ = СВ2. Сондықтан да А2С = СВ2. Ұқсас түрде, АС2ВС параллелограмдарының қарама қарсы қабырғаларыы ретінде С2А = ВС және ВС = АВ2, бұдан С2А = АВ2 . Ал АС2ВС параллелограмының қарама-қарсы қабырғалары болған соң С2В = АС, және АВА2С параллелограмының қарама-қарсы қабырғалары ретінде АС = ВА2, сондықтан С2В = ВА2. Сонымен қатар, параллель түзулерді қиятын СС1 түзуі А2В2 – ге де перпендикуляр, себебі, параллель түзулердің біріне перпендикуляр түзу екіншісіне де перпендикуляр, яғни СС1 мен АВ перпендикуляр, ал СС1 түзуі АВ-ның параллелі болып табылатын А2В2-ні де қияды, демек А2В2-ге де перпендикуляр), сол сияқты АА2 ─ В2С2-ге перпендикуляр (себебі ол ВС – ға перпендикуляр, ал ВС мен В2С2 ─ өзара параллель). Ұқсас түрде ВВ1 ─ А2С2 – ге перпендикуляр (ВВ1 ─ АС-ға түскен биіктік, демек екі түзу өзара перпендикуляр орналасқан. А2С2 түзуі АС – ға параллель болып табылғандықтан, ВВ1 ─ оған да перпендикуляр ). Осылайша, АА1, ВВ1, СС1 түзулері ─ А2В2С2 үшбұрышының орта перпендикулярлары, яғни олар бір нүктеде қиылысады. Теорема дәлелденді. ^[1]

Қасиеттері

Ортоцентрге үшбұрыш қабырғаларына қатысты симметриялы нүктелер сырттай сызылған шеңберде жатады.
Егер О — ΔABC-ға сырттай сызылған шеңбер ортасы болса, онда ${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}$ ${\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}$ ,
- $|OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}$ , мұндағы $R$ — сырттай сызылған щеңбер радиусы; $a,b,c$ — үшбұрыш қабырғалары ұзындықтары.